ВСЁ О КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

При упоминании словосочетания «квадратное уравнение» чаще всего в голове всплывают «дискриминант» и «теорема Виета». Тем не менее квадратные уравнения, которые встречаются в демоверсии и «Открытом банке заданий» ФИПИ, часто могут решаться подбором. Дело в том, что ответ всегда записывается целым числом или десятичной дробью. Рассмотрим, как метод подбора работает при решении уравнений из демоверсии.

Решим уравнение x²+x–12=0 (в задании требуется записать в ответ больший из корней). Когда корень уравнения является целым числом, он является делителем свободного элемента (в данном случае -12, учитывая, что коэффициент при x² равен 1). Будем перебирать все целые делители –12 в порядке убывания: 12, 6, 4, 3, 2, 1, –1, –2, –3, -4, –6, –12. Достаточно быстро находим больший корень 3, обратим внимание на то, что второй корень равен –4.

Особое внимание обратим на уравнения вида ax²=bx, широко представленные в «Открытом банке заданий». Здесь корнями уравнения являются числа 0 и b:a. При положительных a и b меньшим корнем является 0.

Также этот банк включает уравнения вида x²+ax=b, причём требуется записать либо больший, либо меньший корень. В этом случае довольно быстро можно перебрать целочисленные делители b в порядке убывания или в порядке возрастания соответственно.

Например: x²+3x=10. Здесь требуется записать в ответе больший корень. Перебираем: 10(100+30>10), 5(25+15>10), 2(4+6=10). Отметим, что меньший корень равен –10:2=–5.

Очевидно, запись x²–18=7x можно легко привести к виду, разобранному выше: x²–7x=18. Также быстрым способом решения является сразу перебирать делители числа 18. В задании требуется найти больший корень, и второй по величине делитель приводит нас к ответу. Меньший корень можно найти из выражения –18:9=–2.

Разберём уравнения вида (x+a)²=(x–b)². В данном случае достаточно поменять знак в выражении в скобках либо в левой, либо в правой части. Тогда корень можно будет найти из линейного уравнения 2x=b–a, решить которое можно за считанные секунды. Например, в задании из «Открытого банка» ФИПИ, где требуется найти корень уравнения (x+1)²=(2–x)², просто переходим к уравнению x+1=2–x, поскольку в выражениях в скобках x имеет разные знаки. Таким образом, 2x=1, в ответ записываем десятичную дробь 0,5.

Юрий Рафаэлевич Айдаров,

директор школы № 146