КВАДАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Для успешного решения задачи ОГЭ по математике на установление соответствия между формулами и графиками достаточно уметь различать основные элементарные функции. Знать надо и вид формулы, задающей функцию, и то, как выглядит график. Список функций, которые могут встретиться на экзамене в 9 классе, не такой уж большой. Чаще всего это линейные, квадратичные и дробно-рациональные функции.

Составим формулу, соответствующую графику функции на рис. 1. Это парабола, график квадратичной функции, то есть функции вида у = аx² + bx + c. Определим коэффициенты а, b и с. Точка пересечения графика с осью ординат имеет координаты (0; 3), ордината такой точки всегда равна свободному члену с. Вершина параболы – точка с координатами (2; –1). Применяя формулу для вычисления абсциссы вершины параболы , выразим коэффициент b = –4a и получим уравнение –1 = 4а – 8а + 3, отсюда, а = 1, b = –4. Тогда формула, соответствующая графику на рис. 1, имеет вид у = х² – 4х + 3.

Если формулы и свойства в нужный момент вспомнить не удаётся, а на графике отчётливо видны хотя бы три точки с целыми координатами, можно подставить их координаты в уравнение у = аx² + bx + c вместо х и у соответственно и получить систему трёх уравнений с тремя неизвестными а, b и с. На рис. 1 в качестве таких точек можем выбрать, например, точки с координатами (1; 0), (3; 0) и (0; 3), тогда система уравнений примет вид: , решение системы (1; –4; 3) определяет искомые значения коэффициентов.

Система координат на чертеже может быть задана парой координатных осей без указания единичного отрезка, но и в этом случае, зная свойства квадратичной функции, можно определить знаки коэффициентов квадратного трёхчлена и дискриминанта. На рис. 2 изображена парабола, ветви которой направлены вниз, это означает, что старший коэффициент а отрицателен. Вершина параболы лежит в правой полуплоскости относительно оси ординат, а значит, имеет положительную абсциссу. Это возможно при условии, что первый и второй коэффициенты имеют разные знаки, то есть b > 0. Парабола пересекает ось ординат в точке с положительной ординатой, с > 0. Положение графика в системе координат позволяет также определить и знак дискриминанта квадратного трёхчлена аx² + bx + c. Парабола имеет две общие точки с осью абсцисс, а значит, квадратное уравнение аx² + bx + c = 0 имеет два различных действительных корня, то есть дискриминант положителен. Сравнивая знаки коэффициентов в данных формулах и те, которые найдены по графикам, можно легко установить соответствие между функциями и их графиками.

Елена Евгеньевна Манцирина,
учитель математики школы № 146